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2026年5月，顶级数学期刊Inventiones Mathematicae发表了一篇由中国研究团队撰写的论文。该研究由清华/中科大双聘教授马杰，以及清华博士生申武杰和中科大博士生谢晟捷共同完成。

这篇论文在数学界一项历时近80年的难题上取得了突破。1947年，数学家Erdős提出的概率方法奠定了概率组合学的基础，但其理论极限一直未能被根本性超越。而此次的研究首次实现了该方法在指数级上的改进。

一枚硬币的80年探索

Erdős的方法基于一个简单的随机过程：为完全图的每条边抛掷一枚硬币，根据正反面将其染成红色或蓝色。例如，在足够大的社交网络中，必然存在一个子集，其中所有人都相互认识，或者所有人都互不认识。Erdős利用这种“硬币抛掷”证明了“足够大”的规模至少是指数级的。

尽管在过去几十年里，研究者们不断推进此问题的上界，并在2023年将上界从约4提升至3.7992，但其下界的基数自Erdős提出以来近80年几乎未变。直到马杰团队提出了一个关于球面的新颖构想。

硬币方法的局限性

Erdős的硬币着色方法具有每条边红蓝概率各半且完全独立的特点。这种方法易于分析，但它未能利用几何结构来限制单色团的形成，从而浪费了部分信息。

申武杰提出了一个创新性的想法，即在随机性中融入几何概念。他构建了“随机球图”模型，将n个节点随机分布在高维球面上，并通过节点间距离定义边的颜色：距离较远的边染红，距离较近的边染蓝。

高维球面具有一个反直觉的特性：随着维度的增加，几乎所有点都聚集在赤道附近，随机选择的两个径向线之间的夹角几乎总是接近90度。这意味着点对之间的距离高度集中在一个狭窄的区间内，边的着色不再是完全随机的，而是受到球面几何对称性的精确调控。这种球面结构能够天然地抑制大面积单色团的出现。

然而，该模型也存在一个权衡。球面模型降低了出现红色团的概率，因为要形成大的红色团，需要许多节点彼此距离都很远，而在有限的球面空间中这很难实现。但与此同时，蓝色团的概率反而有所增加。

随后，三人团队在小规模图上验证了这一模型。在数以万计的着色方案中，不包含单色团的着色概率依然大于零，证明了该模型带来的收益确实超过了其代价。接下来的关键在于数学证明，而这恰恰依赖于高维球面那些反直觉的几何特性。

以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，其中两个参数满足一个为另一个两倍的关系。Erdős的硬币方法给出的下界基数恰好是黄金比例(1+√5)/2≈1.618。马杰、申武杰和谢晟捷将这一基数提升至(1+√5)/2 + 10⁻²¹。这个改进量极其微小，约为10⁻²¹。

然而，关键在于指数上的提升。Ramsey数是按指数增长的，即使下界基数仅增加0.000000000000000000001，当k趋于无穷时，新的下界将远远超越旧的下界。近80年来，这一基数从未被触及。

他们的工作不仅略微提升了数字，更证明了Erdős的硬币并非最优的着色方案。随机球图在结构上优于纯粹的随机着色，表明概率方法的潜力远未达到上限。这是该领域自Erdős以来首次实现指数级改进，也是首次提出超越硬币抛掷方法的路径。但该方法存在一个明确的局限：它仅在蓝色团大于红色团时有效。当两种颜色的禁忌团大小相等，即Erdős最初关注的对角线情形时，新方法的优势将不复存在。

数学界的震动

该论文于2025年7月上传至arXiv预印本平台后，不到一周，组合数学领域的著名学者Gil Kalai便在其博客上发表了一篇题为“Amazing”的长文，称赞该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe则表示：“一个熟悉的概念竟然能解决一个熟悉的问题，这多少有些令人震惊。”他认为，这项技术此前一直隐藏在人们的视野之中。

2025年12月，马杰在UCLA时的合作导师Benny Sudakov与他的学生证明，即使使用高斯随机图，同样可以达到类似效果，无需用到球面模型。这一简化使得更多研究者能够参与到该方法的推广中。2026年初，该方法已被推广至多色Ramsey数问题。最终，这项成果于2026年5月正式发表在Inventiones Mathematicae。

清华“00后”博士生的直觉

马杰现任清华大学丘成桐数学科学中心教授，同时也是中国科学技术大学教授。他于2007年本科毕业于中国科学技术大学，2011年在Georgia Tech获得博士学位，师从Xingxing Yu。随后，他在UCLA担任Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，之后在CMU进行博士后研究。2015年，他回到中国科学技术大学任教，并于2024年加入清华大学丘成桐数学科学中心和北京雁栖湖应用数学研究院。他曾获得国家优青（2017年）和国家杰青（2022年），并担任SIDMA期刊编委。2020年，他荣获ICA的Hall Medal，该奖项每年最多颁发两枚，表彰40岁以下的杰出组合数学家。

谢晟捷在高中时期曾获得数学联赛广东赛区一等奖，并于高二通过少年班提前进入中国科学技术大学。本科期间，他获得了丘成桐中学数学奖团体铜牌。2023年，他选择留校直博，师从马杰。在论文发表时，他正处于博士三年级。

申武杰，出生于2000年后，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，导师为丘成桐。在论文发表时，他已是博士四年级学生。他高中时曾获得中国数学奥林匹克三等奖，2018年考入北京大学数学科学学院。本科期间，他获得了全国大学生数学竞赛一等奖、阿里巴巴数学竞赛银奖以及ICCM创意本科论文奖。2022年，他直博进入清华大学。在博士学习的最初几个学期，申武杰主要研究几何与拓扑，与Ramsey理论并无直接联系。2024年春季，他偶然阅读了一篇关于Ramsey数的论文，并对该领域产生了浓厚兴趣。他开始思考是否存在一种比Erdős硬币更有效的随机模型，能够生成不含单色团的着色。2024年秋季，当马杰到清华大学进行访问授课时，申武杰将这个想法与他进行了交流，马杰的学生谢晟捷也加入了研究。三人花费了一年时间，完成了长达40页的密集计算，最终完成了证明。马杰后来表示：“我们很幸运，感觉所有的努力都得到了回报。但这一路确实非常艰难。”

AI解题与人类智慧的较量

就在该论文发表的同月，DeepMind公布了AlphaProof Nexus的详细成果。该AI系统在353个Erdős开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有结果均通过Lean形式化验证。其中，有两道题已悬置56年，每道题的解决成本仅需几百美元。AlphaProof Nexus利用Gemini 3.1 Pro驱动的agentic loop，反复搜索证明路径直至获得形式验证器的认可。

然而，这种方法本质上是在已知框架内进行搜索。对此，陶哲轩曾评论道：“AI是称职的助手，但不是同行。它擅长在已知方法中进行扫描和匹配，但不擅长提出原创性的想法。”而马杰团队所做的恰恰是后者。他们并未试图解决Erdős的某个具体问题，而是对Erdős发明的方法本身进行了升级。AI从Erdős的遗产中拆除了9堵墙，而这三位中国研究者则重塑了他最引以为傲的那把“锤子”。在最需要创造性洞察力的数学前沿领域，人类的智慧目前仍然不可替代，至少在今天如此。

结语

1947年，Erdős抛出一枚硬币，开创了概率组合学。近80年后，一位中国“00后”博士生提出了一个简单的设想：“尝试将节点置于球面上。”

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